Ley de Gauss

Johann Carl Friedrich Gauss (Gauß) ▶^?/i (30 de abril de 1777, Brunswick – 23 de febrerode 1855, Göttingen), fue un matemático, astrónomo y físico alemán que contribuyó significativamente en muchos campos, incluida la teoría de números, el análisis matemático, la geometría diferencial, la geodesia, el magnetismo y la óptica. Considerado "el príncipe de las matemáticas" y "el matemático más grande desde la antigüedad", Gauss ha tenido una influencia notable en muchos campos de la matemática y de la ciencia, y es considerado uno de los matemáticos que más influencia ha tenido en la historia. Fue de los primeros en extender el concepto de divisibilidad a otros conjuntos.

Una de las leyes mas importantes, que forman  parte de las leyes de Maxwell, es la ley de Gauss.  Esta ley permite encontrar de manera fácil el campo eléctrico, de manera sumamente fácil para cuerpos cargados geométricamente de manera regular.

 Para la aplicación de la ley de Gauss se requiere de la consideración de una superficie imaginaria llamada “superficie Gaussiana”, la cual generalmente tiene la forma de la configuración del cuerpo cargado. Esta superficie tiene que encerrar al cuerpo completamente.

Ley de Gauss.

La carga total contenida en un cuerpo cargado es igual a la suma de flujo que atraviesan  la superficie Gaussiana su expresión matemática queda determinada por:

Por ejemplo, si queremos encontrar el campo eléctrico de una esfera cargada, de carga Q, tendremos que considerar una cuerpo imaginario que tenga la misma superficie que el cuerpo original, en este caso de una esfera de radio r, arbitrario.

 

Analizando la expresión:

vemos que:

donde Q_T es la carga total contenida dentro de la superficie Gaussiana, es decir, la de la esfera cargada. Por lo que tenemos la expresión:

Vemos que es conveniente manejar el elemento diferencial de superficie en coordenadas esféricas. Tomemos el elemento de superficie:

con lo que :

 como el campo es radial, por lo que E puede salir de la integral:

recordemos que:

Entonces tendremos:

finalmente despejando el campo tendremos:

Que corresponde a la forma de una carga puntual, precisamente por que tiene una forma esférica ambas

Por su puesto, en ambas situaciones intensidad del campo eléctrico el vector del campo eléctrico será descrito como:

realmente el proceso es muy simple lo único que se tiene que hacer es encontrar una superficie apropiada, inclusive en ocasiones no es necesario realizar las integrales, si conocemos que la superficie de una esfera es igual a   podemos identificar que:

y directamente podemos despejar y obtener: